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Optimisation du modèle Water Balanced Model.

Ajouté le : 2018-10-31 11:37:40
Fournisseur : Connectez-vous (Niger)
Catégories : Logiciels & Applications

Optimisation des paramètres du modèle conceptuel Water Balanced Model. INTRODUCTION. L’Afrique présente une sensibilité accrue aux situations extrêmes (inondations, sécheresse,…). La prévision des ressources en eau (quantité, répartition, évolution) et la lutte contre les inondations (assainissement, propagation des crues, qualité des eaux) sont par conséquent au cœur des préoccupations des états Africains. L’Afrique souhaite poursuivre sa politique de prévention afin de limiter les conséquences de tels événements. De nombreux programmes de recherches internationaux et nationaux sont mis en œuvre ces dernières années sur cette problématique. La modélisation hydrologique est un outil privilégié pour aborder cette problématique : à partir de grilles de précipitations, d’évapotranspiration potentielle et de capacité en eau des sols on obtient à l’aide de modèles hydrologiques les variations de l’humidité des sols, de l’évapotranspiration réelle et de l’écoulement. MATERIELS et METHODES. Le Water Balance Model a été développé par Vörösmarty en 1989 et validé sur des sous-bassins du Haut-Niger en Guinée et au Mali pour lesquels il donne des résultats excellents (coefficient de Nash jusqu’à 95 %). Les données d’entrée du Modèle sont les grilles de précipitations, d’évapotranspiration potentielle (ETP) et de capacité de rétention en eau du sol (WHC). Les séries hydrologiques employées peuvent avoir une influence sur la détermination des paramètres. Elles doivent être représentatives de la gamme de conditions pouvant se produire sur les bassins ; il est donc impossible de ne pas tenir compte du changement des régimes pluviométriques et hydrologiques survenu en Afrique entre 1969 et 1971. Pour que l’écoulement R se produise, il faut que la pluie excède l’ETP et satisfasse le déficit d’humidité du sol (SMD). Une proportion ? (premier paramètre du modèle) de la pluie se transforme en écoulement direct avant l’établissement du bilan d’eau. Durant les mois où la pluie excède l’ETP et où SMD est satisfaite, le surplus s’ajoute au stock d’eau du mois précédent (SRi-1) pour constituer l’eau potentiellement disponible (ARi) du mois considéré : ARi = (Pi – ?Pi) + SRi-1 – ETPi +SMDi-1 Une fraction ? (second paramètre du modèle) d’ARi s’ajoute à l’écoulement direct pour donner l’écoulement total : Ri = ?Pi + ?ARi Le complément forme l’eau disponible pour le prochain mois et SMD est remis à zéro : SRi = (1- ?)ARi Lorsque la pluie est insuffisante pour satisfaire l’ETP et combler le SMD, l’humidité contribue à satisfaire en partie la demande évaporatoire et SMD s’accroît : SMDi = SMDi-1 + (Pi - ?Pi) – ETRi Plus le sol s’assèche, plus il est difficile de satisfaire la demande évaporatoire. C’est ainsi que l’ETR est exprimée par ETRi = k * ETPi, où k dépend de l’état d’humidité du sol : - Si SMDi-1 > - 25 mm, alors k = 1 ; - Si -0,50WHC < SMDi-1 < - 25 mm, alors K = 0,5 + 0,5(WHC + SMDi-1)/(0,5WHC – 25) ; - Si SMDi-1 < -0,50WHC, alors K = 0,10. Le débit total est alors donné par Ri = ?Pi + ?SRi-1. Les moyens techniques actuels ne permettent pas encore de mesurer directement l’évapotranspiration sur de très grandes surfaces. Cependant de nombreuses méthodes empiriques (Penman, Thom et Olivier…) permettent l’évaluation indirecte de l’E.T.P. Penman propose d’évaluer l’E.T.P à partir d’un bilan énergétique simple : Rn = A + S + E*L -Rn représente la radiation nette reçue au sol ; -A représente le flux de chaleur au bénéfice de l’atmosphère ; -S le flux de chaleur résultant des échanges thermiques avec le sol ; -E le flux évaporé ; - L la chaleur latente. La formule développée de l’E.T.P prend donc la forme suivante : E.T.P = { (Iga/59)*(1 – a)*(0,18 + 0,62* h/H) – (?*T4 /59)* (0,56 – 0,08*?e )*( 0,10 + 0,90*h/H)}*(F’T /? )/ ( 1 + F’T /? ) + 0,26/(1 + F’T /? )*(ew – e)*(1 + 0,54*V) ETP = évapotranspiration potentielle en mm/j ; Iga = radiation solaire directe en l’absence d’atmosphère en cal/cm²/j ; a = albédo de la surface évaporante ; h = durée réelle d’insolation en heures et dixièmes du jour considéré ; H = durée maximale possible d’insolation en heures et dixièmes pour ce jour ; ? = constante de Stephan – Boltzman soit 1,80*10-7cal/cm²/jour/°K ; T = température moyenne journalière de l’air sous abri exprimée en °K ; e = tension moyenne journalière de la vapeur d’eau mesurée sous abri et exprimée en millibars ; F’T = pente de la courbe de tension de vapeur saturante pour la température de l’air T ; ? = constante psychométrique ; ew = tension maximale possible de la vapeur d’eau exprimée en millibars pour la température T ; V = vitesse moyenne journalière du vent mesurée à deux mètres au-dessus de la surface évaporante et exprimée en m/s . Les données mensuelles de précipitations, de température de l’air, de vitesse du vent,…sont disponibles auprès de plusieurs centres de recherches tels qu’IPCC. Les bassins versants sont également caractérisés par leurs capacités de rétention en eau des sols WHC ; les valeurs de WHC utilisées sont issues de la carte « Soil Map of the World » fournie par la F.A.O. L’optimisation d’un modèle consiste à déterminer le jeu de paramètres du modèle permettant de reproduire le plus fidèlement possible les débits observés à l’exutoire. La qualité de reproduction de ces débits est mesurée par une valeur numérique appelée fonction critère. Cette fonction permet de comparer l’écart quadratique moyen des débits par rapport à la variance : NASH = 100*{1 – ?(Qo – Qc)²/?(Qo – Qm)²}. Avec Qm = moyenne des débits observés Qo ; et Qc = débits calculés par le modèle. L’optimisation d’un modèle se fait en deux étapes : le calage qui consiste à estimer les paramètres du modèle en optimisant l’ajustement de certaines variables simulées à leurs valeurs mesurées ; la validation qui consiste à vérifier la qualité du modèle calibré sur des séries de mesures non utilisées lors du calibrage. Le calage se fait sur les deux tiers de données disponibles et la validation sur le dernier tiers et ce sur la période humide (avant 1971) et sur la période sèche (à partir de 1971). Les deux méthodes d’optimisation couramment utilisées en hydrologie sont les algorithmes développés par Rosenbrock et par Nelder et Mead. La méthode de Rosenbrock est une procédure itérative basée sur la recherche de l’extrémum d’une fonction critère préalablement définie. Partant d’un point donné, le point suivant, auquel est associé une meilleure valeur de la fonction critère, est déterminé par des recherches successives unidimensionnelles le long d’un jeu de directions orthonormées s1,…,sn permettant d’identifier les étapes de la recherche. Pour l’étape initiale les vecteurs s(1 ;0),…,s(n ;0) sont choisis parallèles aux axes de paramètre x1, …,xn . Partant de x(1,0) la recherche débute en introduisant une modification ?(1,0)*s(1,0) dans la première direction de coordonnée. Si la valeur de la fonction critère f(x(1,0) + ?(1,0)*s(1,0)) est égale ou inférieure à f(x1,0) on a affaire à un succès et ce nouveau point remplace x(1,0), ?(1,0) est alors multiplié par un facteur ? > 0 et c’est au tour de la direction de recherche s(2,0) d’être modifiée. Si la valeur de f(x(1,0) + ?(1,0)*s(1,0)) est supérieure à f(x1,0), on a affaire à un échec, x(1,0) n’est pas remplacé, ?(1,0) est multiplié par un facteur ? < 0 et c’est au tour de la direction de recherche s(2,0) d’être modifiée. De manière générale Rosenbrock recommande l’utilisation de ? = 3 et ? = - 0,5. Après que chacune des n directions de recherche ait été modifiée, la première l’est à nouveau d’un pas de longueur ?*?(1,0) ou ?* ?(1,0) selon le résultat précédent enregistré suivant cette direction s(1,0). On continue ainsi jusqu’à ce que l’on enregistre un succès suivi d’un échec dans chacune des directions. L’étape 1 est alors terminée et le point auquel on est arrivé devient le point de départ pour l’étape suivante x(2,0) = x(1,n). La direction s(2,0) est choisie parallèle (x(2,0) – x(1,0)) et les autres directions sont orthonormées entre elles et par rapport s(2,0). L’arrêt automatique de la méthode peut être envisagé au-delà d’un nombre donné d’étapes de recherche ou encore lorsque les variations de la fonction critère restent inférieures à une valeur donnée. Nelder et Mead ont proposé en 1964 une méthode qui s’est révélée particulièrement efficace. Cette méthode est basée sur un algorithme antérieur, la méthode du Simplex de Spendley, Hext et Himsworth (1962). Un simplex est un polyèdre régulier dans un espace à n dimensions En. Par exemple dans un espace à deux dimensions, un simplex régulier est un triangle équilatéral ; dans un espace à trois dimensions un simplex est un tétraèdre régulier. La fonction critère peut être évaluée en chacun des sommets du simplex. On peut alors faire la projection du point présentant la valeur la plus élevée passant par le barycentre des autres sommets. Le point A est alors supprimé et un nouveau simplex obtenu par « réflexion » peut être reconstitué à partir des anciens points restants et du nouveau point projeté B. L’utilisation de cette procédure à savoir l’élimination systématique du sommet présentant la valeur la plus élevée de la fonction critère, et de quelques règles permettant de réduire la taille du simplex et de l’empêcher de se boucler sur lui-même au voisinage de l’extrémum permettent une recherche directe, à pas fixe mais à direction variable. Dans le cas de la méthode de Nelder et Mead le simplex peut voir sa forme modifiée. Si le principe général de la méthode est identique à celui que nous venons de voir, l’idée nouvelle est l’adaptation du simplex au problème local par accroissement ou contraction selon que l’on se rapproche ou non de l’optimum. RESULTATS et DISCUSSIONS. Les valeurs des paramètres ? et ? ainsi que les critères de NASH obtenus lors de l’optimisation du modèle sont résumés dans le tableau ci-dessous : Paramètre. Rosen Nelder et Mead. Itération 1. Itération 2. Itération 3. Itération 4. Itération 5 ? 0,2 ? 0,2 Nash -86,83 X1 (0,2 ; 0,2) (0,2 ; 0,2) (0,2 ; 0,2) (0,2 ; 0,2) (0,2 ; 0,2) F(x1) -86,83 -86,83 -86,83 -86,83 -86,83 X2 (0,1035 ; 0,2259) (0,1035 ; 0,2259) (0,1035 ; 0,2259) (0,1035 ; 0,2259) (0,1035 ; 0,2259) F(x2) -90,123 -90,123 -90,123 -90,123 -90,123 X3 (0,1741 ; 0,2965) (0,162925, 0,254725) (0,1573375 ; 0,2338375) (0,15454375 ; 0,22339375) (0,15314688 ; 0,21817188) F(x3) -146,033 -118,052 -109,41454 -94,23 -102,43 xc (0,15175 ; 0,21295) (0,15175 ; 0,21295) (0,15175 ; 0,21295) (0,15175 ; 0,21295) (0,15175 ; 0,21295) xr (0,1294, 0,1294) (0,140575 ; 0,171175) (0,1461625 ; 0,1920625) (0,14895625 ; 0,20250625) (0,15035312 ; 0,20772812) F (xr) -27,40 -57,03 -78,19 -91,07 -95,433 x (0,162925 ; 0,254725) (0,1573375 ; 0,2338375) (0,15454375 ; 0,22339375) (0,15314688 ; 0,21817188) Les paramètres optimisés sont donc ? = 0,15454375 et ? = 0,22339375 ; la valeur de ? montre que même au pas de temps mensuel WBM reproduit une part d’écoulement direct (Ardoin 2003). Le comportement du modèle WBM en calage est satisfaisant car le critère de NASH obtenu est de 94 %. Les hydrogrammes calés obtenus sont également de bonne qualité, la dynamique des écoulements étant bien respectée (on note un léger décalage de la pointe des crues de un à deux mois). On remarque des écarts importants entre les deux hydrogrammes sur les pointes de crues de la période allant du 60e mois au 85e mois ; cela indique que les valeurs de pluies de cette période sont mal enregistrées et le modèle WBM produit ainsi de faibles débits. CONCLUSION. Le modèle ajusté est meilleur lorsque la valeur de la fonction critère se rapproche de 100 %. La dynamique des écoulements est également bien respectée en dehors du léger décalage de la pointe des crues de un à deux mois : les algorithmes utilisés pour l’optimisation du modèle sont donc robustes. La modélisation hydrologique est donc un outil privilégié pour la prévision des ressources en eau et la lutte contre les inondations. En retenant l’hypothèse simplificatrice d’une stabilité des paramètres calés sur les bassins versants étudiés, il es possible de simuler des écoulements sur les décennies à venir. Ainsi l’ampleur du changement climatique et de ses conséquences sur les ressources en eaux peut être évaluée aux moyens des modèles hydrologiques et des modèles de circulation générale. REFERENCES. J. P. Laborde. 2000. Eléments d’hydrologie de surface. Université de Nice – Sophia Antipolis. ARDOIN-BARDIN. S. 2004. Variabilité hydro-clmatique et impacts sur les ressources en eau de grands bassins hydrographiques en zone soudano-sahélienne. Thèse de Doctorat : Université de Montpellier II. E. Haziza. 2003. Modélisation mensuelle pluie – débit/ Apports de la spatialisation – Cas des données de sols. Thèse de Maîtrise : Université de Montpellier. V. Guinot. 2003. Les modèles numériques en hydrologie et en hydraulique : Université de Montpellier II. E. Servat et A. Dezetter. 1988. SIMPLE et ROSEN : deux méthodes d’optimisation non-linéaires – Théorie et Pratique. ORSTOM. R. Chérif, J.-L. Robert et R. Lagacé. 2004. Optimisation des paramètres Green et Ampt pour un modèle conceptuel pluie – infiltration – ruissellement : Université de Laval, Québec.

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